<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          7 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Quarta Parte 

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 7 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2009
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
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          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, 
          SP, Brasil)

 Mori, Iracema
  Matemtica : ideias e desafios, 7 ano /
 Iracema Mori, Dulce Satiko 
  Onaga. -- 15.ed.
 reform. -- So Paulo : Saraiva, 
  2009.
 Edio no consumvel
 Suplementado pelo manual do 
  professor.
 ISBN 978-85-02-08017-1 
  (aluno) 
 ISBN 978-85-02-08018-8 
  (professor)

 1. Matemtica (Ensino 
  fundamental) I. Onaga,
 Dulce Satiko. II. Ttulo.

 09-00908           CDD-372`.7
<P>
<P>
<R+>
<F->
                            III
Sumrio

Quarta Parte

Unidade 4

Os nmeros racionais :::::: 307
1 -- Racionais positivos 
  e racionais negativos :::: 310
Os nmeros racionais e a 
  propriedade fundamental 
  das fraes :::::::::::::: 318
2 -- Ampliando o conjunto 
  dos nmeros inteiros ::::: 322
Dzimas peridicas :::::::: 324
3 -- Nmeros racionais: a 
  representao 
  geomtrica ::::::::::::::: 330 
Comparao de nmeros 
  racionais :::::::::::::::: 337
4 -- Operaes com nmeros 
  racionais :::::::::::::::: 345
Adio e subtrao :::::::: 345
Multiplicao com nmeros 
  racionais :::::::::::::::: 356
Inverso multiplicativo :::: 360
<P>
Diviso com nmeros 
  racionais :::::::::::::::: 366
Multiplicar para dividir :: 369
5 -- Nmeros racionais e 
  potncias :::::::::::::::: 380
Os expoentes zero e 1 :::: 383
Propriedades das potncias 
  de bases iguais :::::::::: 387
6 -- Potncias e expoentes 
  negativos :::::::::::::::: 391
Potncia de base 10 e 
  expoente negativo :::::::: 397
7 -- Nmeros racionais e a 
  raiz quadrada :::::::::::: 403
8 -- Tratamento da 
  informao ::::::::::::::: 407
Os nmeros racionais 
  negativos e os grficos :: 407
Mdia aritmtica :::::::::: 409
Leitura + (mais) :::::::: 418
Reviso cumulativa e 
  testes ::::::::::::::::::: 419
<F+>
<R->

<104>
<ti. d. mat. 7 ano>
<T+307>
 Unidade 4

 Os nmeros racionais

<R+>
_`[{duas figuras seguidas por legendas_`]
 Legenda 1: Representao da rbita da Terra ao redor do Sol. A Terra, que est a cerca de 1,5.108 km do Sol, leva 365 dias e #,d de dia, ou seja, um ano para completar uma volta ao redor dele. Figura sem proporo de tamanho e de distncia entre a Terra e o Sol.
 Legenda 2: O uso da informtica e da eletrnica em equipamentos mdicos, instrumentos de pesquisa e painis de dados contribuiu para os avanos da cincia. Nesses aparelhos, as informaes numricas so expressas em nmeros racionais. 

<105>
<p>
_`[{grfico *Expectativa de vida: Brasil (1940-2008)* adaptado; contedo a seguir_`]
 Ano: 1940
  Homens: 42,7 anos
  Mulheres: 47,1 anos
 Ano: 1950
  Homens: 48,8 anos
  Mulheres: 49,8 anos
 Ano: 1960
  Homens: 49,1 anos
  Mulheres: 54,8 anos
 Ano: 1970
  Homens: 52,3 anos
  Mulheres: 58,1 anos
 Ano: 1980
  Homens: 59,2 anos
  Mulheres: 65,5 anos
 Ano: 1990
  Homens: 62,1 anos
  Mulheres: 69,8 anos
 Ano: 2000
  Homens: 64,7 anos
  Mulheres: 72,5 anos
<P>
 Ano: 2008
  Homens: 69 anos
  Mulheres: 76,5 anos

 Fonte: Sntese de Indicadores Sociais 2008 ~,www.ibge.gov.~
  br~, Acesso em: 21 de novembro de 2008.
<R->

  A expectativa de vida dos brasileiros, que em 2000 era, em mdia, de 68,6 anos, entre homens e mulheres, subiu para 72,8 anos em 2008 (IBGE, 2008).
  Atualmente, os nmeros racionais, como #:d (trs quartos) ou 0,375 (trezentos e setenta e cinco milsimos), esto presentes no dia a dia de vrias pessoas. Nmeros como esses aparecem em notcias divulgadas em jornais, revistas e na televiso. Saber ler nmeros desse tipo, operar com eles e interpret-los  fundamental.
<P>
  Vamos aprender mais sobre eles.
<R+>
  Qual era a expectativa de vida da mulher brasileira em 1990? Como se l esse nmero?
  O que significa 0,1 de um ano? 
  Descreva uma situao na qual so utilizados nmeros racionais. 
<R->

<106>
 1 -- Racionais positivos e 
  racionais negativos

  Muitas situaes que envolvem nmeros inteiros podem apresentar nmeros racionais em suas solues. Vamos analisar algumas delas. 
  Carmem ganhou duas barras de chocolate. 
  Ela quer repartir as barras, igualmente, entre ela e seus quatro irmos.
<P>
_`[{carmem pensa_`]
  "?!! Bom... 1 barra para cada um no d..."

_`[{as irms dizem_`]
  "Que tal repartir as barras, Carmem?"

_`[{os irmos dizem_`]
  "Isso mesmo!!! E a cada um fica com um pedao."
 
<R+>
 wr
  Como Carmem poder fazer essa distribuio?
<R->
 
  Podemos resolver o problema proposto de duas maneiras: 
<R+>
  Por meio de desenhos: 
 a) Dividindo cada barra de chocolate em 5 pedaos iguais, obtemos 10 pedaos iguais a #,e de uma barra. Nesse caso, cada irmo ficar com 2 pedaos, o que corresponde a #;e da barra de chocolate. 

<F->
!::::::::::::::::::::
l_    __    __
h::::j::::j::::j::::j::::j 
 #;e  #;e  #;e  #;e  #;e
!::::::::::::::::::::
l_    __    __
h::::j::::j::::j::::j::::j
<F+>

 b) Dividindo cada barra de chocolate em 10 pedaos iguais, obtemos 20 pedaos iguais a #,aj de barra. Nesse caso, cada um deles receber 4 pedaos, o que corresponde a #aj da barra de chocolate, ou seja, 0,4 de barra de chocolate. Cada um receber #;e da barra de chocolate, ou, ainda, 0,4 da barra de chocolate. 
<P>
 #;e ou #aj ou 0,4 representam o 
  mesmo nmero racional.

<F->
!::::::::::::::::::::
l__  _  ___  _  ___
h::j::j::j::j::j::j::j::j::j::j 
   #aj  #aj  #aj  #aj  #aj
!::::::::::::::::::::
l__  _  ___  _  ___
h::j::j::j::j::j::j::j::j::j::j
<F+>

<107>
  Efetuando a diviso de 2 por 5: 

 25=0,4 de uma barra

  Podemos escrever: 

 25=#;e
 25=0,4
<R->

  Como 2=+2 e 5=+5, tambm temos:

 +2+5=+25 ou +25=+0,4
<P>
  Daniela pensou em um nmero e deu a informao a seguir aos colegas:

_`[{daniela diz_`]
  "O produto dele por -4  +15. Em que nmero eu pensei?"

_`[{uma colega pensa_`]
  "Hummm..."

_`[{um colega diz_`]
  "Ser um nmero inteiro?!?"

_`[{outro colega pensa_`]
  "?"

<R+>
 wr
  Descubra voc tambm o nmero em que Daniela pensou. 
<R->

  Podemos resolver o problema proposto por Daniela lembrando que a multiplicao e a diviso so operaes inversas. 

 nmero "-4=+15
 nmero =+15-4
  O quociente +15-4 no  um nmero inteiro, pois no existe um nmero inteiro que, multiplicado por -4, resulte em +15.
  Providencie uma calculadora e digite esta sequncia de teclas.

 - 1 5  4 =

<R+>
 wr
  O que apareceu no visor?
<R->

<108>
  Para que problemas como o proposto por Daniela tenham resoluo, ampliamos o significado de nmero racional que j estudamos: 

_`[{o professor diz_`]
  "Quocientes como esses podem ser nmeros racionais positivos ou negativos."

<R+>
 Usando fraes...  
 nmero =+15-4=+15-4=
  =-15-4
<P>
 Usando decimais...  
 nmero =+15-4=-154=
  =-3,75
<R->

  Veja alguns exemplos de diviso. 

<R+>
1 exemplo: os nmeros inteiros tm sinais iguais.

 +9+4=+9+4=+94=94
 ou
 +9+4=+94=+2,25=2,25

 -3-4=-3-4=+34=34
 ou
 -3-4=+34=+0,75=0,75

2 exemplo: os nmeros inteiros tm sinais diferentes.

 +12-15+12-15=-45
 ou
 +12-15=-1215=-0,8

 -7+8=-7+8=-78
 ou
 -7+8=-78=-0,875
 3 exemplo: 
 
 +12=+24+2 ou +12=-24-2 -- +12, ou 12, pode ser escrito na forma fracionria.
 -12=-24+2 ou -12=+24-2 -- -12 pode ser escrito na forma fracionria.

wr
  Qualquer nmero inteiro pode ser escrito na forma fracionria? D exemplos em seu caderno.

 Chamamos de nmero racional todo nmero que pode ser escrito na forma fracionria, em que o numerador e o denominador so nmeros inteiros, com denominador diferente de zero.

 wr
  -10  um nmero racional? Por qu?
<P>
  8,5  um nmero racional? Por qu?
  0  um nmero racional? Por qu?
<R->

<109>
 Os nmeros racionais e a 
  propriedade fundamental das 
  fraes 

  Para nmeros racionais na forma fracionria vale tambm a propriedade fundamental das fraes. Observe os exemplos:

<R+>
 -#?d
 Multiplicando numerador e denominador por 2

 -#?d=-#,}h=-1,25

 -#?d
 Multiplicando numerador e denominador por -3

 -#?d=-`(-15`)~`(-12`)=-`(+#,?ab`)=
  =-#,?ab=-1,25
<P> 
 -#?d e -#,?ab so iguais a -1,25
 -#:!gb
 Dividindo numerador e denominador por 2

 -#:!gb=-#,"cf=-0,5

-#:!gb
 Dividindo numerador e denominador por -18

 -#:!gb=-`(-2`)~`(-4`)=-#;d=-0,5
 
 -#:!gb  igual a -0,5

 -#,}h e -#,?ab representam o nmero racional e -#?d; e -#,"cf e -#;d representam o nmero racional -#:!gb.

 Multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador de um nmero racional na forma fracionria por um nmero diferente de zero, obtemos outra representao desse nmero racional.
<R->
<P>
 Fazer e aprender 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Estes quocientes so nmeros racionais. Apresente a escrita fracionria de cada um. 
 a) -9-10
 b) +14+15
 c) -26+37
 d) -53-67

 2. Expresse cada situao por meio de um nmero racional. 
 a) A distribuio de R$25,00 em quatro quantias iguais.
 b) Quatro metros e meio abaixo do nvel do mar. 
 c) O valor de cada parcela de um saque total de R$100,00 feito 8 vezes.

 3. Um nmero multiplicado por -10 resulta em +9. Que nmero  esse?
<P>
 4. Estes quocientes so nmeros racionais. Escreva a forma decimal de cada um: 
 a) -11-4
 b) -18+5
 c) -48-25
 d) -12~-60

 5. Escreva trs fraes que representem o nmero racional -5~7. 
 6. Escreva trs fraes que representem o nmero racional -14,8.
<R->

 Seo + (mais)

 Uma roda de nmeros

  Copie a figura a seguir em seu caderno e complete os crculos da roda com os nmeros: -8, -4, 1, 2 e 8, de modo que o quociente entre os nmeros, no sentido da seta, seja sempre -0,25.
<P>
<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 `(-3`)12=-0,25
 ......=-0,25
 `(-2`)...=-0,25
 ......=-0,25
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<110>
 2 -- Ampliando o conjunto dos 
  nmeros inteiros 

  Reunindo em um nico grupo os nmeros racionais positivos, os nmeros racionais negativos e o zero, temos o conjunto dos nmeros racionais, representado pelo smbolo _q.
  Alguns nmeros que pertencem a _q so: #:g; -#bc; 0,14; 59; -13,6; 0. 
  Todo nmero inteiro  um nmero racional, pois pode ser escrito na forma fracionria. 
  Podemos, ainda, dizer que todo nmero que pertence a _z pertence, tambm, a _q.
<P>
  Exemplo: -8=-48~+6, ou -8=-#"f -- -8,_z e -8,_q.
  Observe este diagrama. Nele representamos _n, _z e _q.

_`[{diagrama adaptado_`]
<F-> 
pccccccccccccccccccccc
l _q                  _
l                     _
l -#;g 0,8 +#;g +#,c _
l                     _
l -2,5 pccccccccccccc
l       l _z          _
l -#,c  l     pccccccc 
l       l -1 l _n    _
l       l     l       _
l       l -2 l 0 1 _
l       l     l       _  
l       l -3 l 2 3 _
l       l     l       _   
v-------v-----v-------#         
<F+>
<P>
<R+>
wr
  Copie o diagrama em seu caderno e explique como podemos relacionar _n, _z e _q.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 O conjunto dos nmeros racionais  uma ampliao do conjunto dos nmeros inteiros. O conjunto dos nmeros inteiros, por sua vez,  uma ampliao do conjunto dos nmeros naturais.
<R->

 Dzimas peridicas 

  Obtenha uma representao decimal de #;*c.

<R+>
wr
  O que acontece com o resto dessa diviso de 29 por 3?
  Qual  a representao decimal dessa frao?
<R->
<P>
  O resto da diviso de 29 por 3, a partir de certo momento,  sempre 2, e a diviso no ser exata. Assim, o quociente  um decimal com infinitas ordens decimais em que o algarismo 6 se repete sempre. 

293=9,666...

<111>
  Dizemos que: 9,666...  uma dzima peridica de perodo 6. 
  Em lugar de repetir o perodo, podemos colocar sobre ele um trao ou um ponto _`[no sistema comum de escrita_`].

<R+>
_`[{no sistema braille_`]
 9,666...=9,?6* -- 9,666...  um decimal no exato.
<R->

  Note que #;*c tem infinitas ordens decimais quando representado dessa forma. 
  Outro exemplo: -#:?f=
 =-5,8333... ou -#:?f=-5,8?3*.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 7. Alguns destes nmeros racionais so tambm nmeros inteiros. Quais so eles? 
 a) -#,!af
 b) -#*bg
 c) #:}ah
 d) -#;ba
 e) #}be
 f) -#!:c

 8. Dentre os nmeros racionais #,*b, -#:?d e #*f, qual deles tem como escrita decimal uma dzima perodica? 
 
 9. Copie apenas as sentenas verdadeiras. 
 a) Todo nmero inteiro  um nmero racional. 
 b) Toda dzima peridica  um nmero inteiro. 
<P>
 c) Todo nmero racional  um nmero natural. 
 d) Existem nmeros racionais que so nmeros inteiros.

 10. Copie as sentenas substituindo a ... por um nmero, de maneira a torn-las verdadeiras. 
 a) ...,_z
 b) ...,_n
 c) ...,_z
 d) ...,_n
 e) ...,_z
 f) ...,_q
 g) ...,_q
 h) ...,_q

 11. Vamos trabalhar com a escrita numrica decimal: 
 a) Apresente a escrita numrica decimal de cada nmero racional que aparece na sequncia.

 +#"*aj; #?c; -#;=bj; -#,?aa; -#,:ij; #cc.
<P>
 b) Quais desses nmeros representam uma dzima perodica?
 c) Qual  o perodo de cada dzima peridica que voc encontrou?
<R-> 

 Usando a calculadora 

<R+>
  Divida o nmero 5.775 pelos nmeros inteiros que esto nas sequncias: 

 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13 
 -27, -18, -16, -15, -13 

  Construa em seu caderno uma tabela como esta e anote os quocientes obtidos na coluna que achar mais adequada.

_`[{tabela *Nmero racional* adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Inteiro
 2 coluna: Decimal exato
 3 coluna: Dzima peridica
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::
l 1_2_ 3           _
r::::w:::w:::::::::::::::w
l525_'''_'''            _
r::::w:::w:::::::::::::::w
l '''_'''_'''            _
r::::w:::w:::::::::::::::w
l '''_'''_-320,833333..._
h::::j:::j:::::::::::::::j
<F+>

 5.77511=525
 5.775-18=-320,833333...

  Desta vez, o nmero  1.024. Divida-o pelos nmeros desta tabela. Copie-a, completando-a em seu caderno: 

_`[{tabela adaptada_`]
 Por 2: ...
 Por 3: ...
 Por 5: ...
 Por 6: ...
 Por 9: ...
<P>
 Por -7: ...
 Por -100: ...
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<112>
 3 -- Nmeros racionais: a 
  representao geomtrica

  Do mesmo modo como fazemos com os nmeros inteiros e os racionais positivos, tambm representamos os nmeros racionais negativos por pontos de uma reta numerada. 
  Observe a reta numerada 
 _`[adaptada_`]:

<F->
        :> sentido positivo
         P  M  A
    o:::o::o::o
...-1   0 +#:e 1...

P  a origem -- ponto zero
<F+>

<R+>
wr
  O ponto M representa +#:e. Como voc representaria -#:e?
<R->
<P>
  Para representar -#:e, contamos 3 partes iguais a #,e partindo do zero, no sentido negativo:

<F->
         :> sentido positivo
         R  P  M  A
    o:::o::o::o::o
...-1  -#:e 0 +#:e 1...
<F+>

  Paramos no ponto R, que representa -#:e nessa reta numerada.
  Os nmeros +#:e e -#:e so nmeros opostos ou simtricos, pois esto  mesma distncia do zero e em sentidos opostos. 
  Tambm podemos representar na reta numerada esses nmeros racionais escritos na forma decimal.

 -#:e=-0,6
 +#:e=+0,6
 
  Para representar +0,6 dividimos a unidade em 10 partes iguais. Em seguida, contamos, a partir do zero, 6 dessas partes no sentido positivo e paramos no ponto M. Esse ponto representa +0,6 ou 0,6. O ponto R, que  simtrico ao ponto M, em relao ao ponto P, representa -0,6.

_`[{a menina diz_`]
  "Vamos comparar as duas retas?"

_`[{retas no adaptadas_`]

  O ponto M representa #:e e 0,6 e o ponto R representa -#:e e -0,6. 
<113>
  Nessa representao:
<R+>
  0  a abscissa do ponto P; 
  +#:e, ou #:e ou 0,6  a abscissa do ponto M. 
<R->

  A distncia de R ao zero  de #:e da unidade. Dizemos que:

<R+>
 o valor absoluto ou mdulo de -#:e  #:e -- _-#:e_=#:e.

wr
  Qual  abscissa de R?
  Qual  o valor de _+0,6_? 
<R->

  Acompanhe outro exemplo: "Represente os nmeros +#:b e -#:b na reta numerada".

_`[{o menino diz_`]
  "O denominador das fraes  2... Dividimos a unidade em 2 partes iguais."

<F->
             :> sentido positivo
    T       P  A  S                
:w:::w::::w:::w:::w:::w:::w::
-2 -#:b -1  0  1 +#:b 2
<F+>

  O ponto S tambm representa o decimal +1,5 e o ponto T, o decimal -1,5. 
  Podemos observar, tambm, que: 
<R+>
  a abscissa de S  #:b ou 1,5;
  a abscissa de T  -#:b ou -1,5; 
  o mdulo ou valor absoluto de -#:b  #:b -- _-#:b_=#:b. 
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 12 a 14, pea orientao ao professor_`]

 12. Nesta figura _`[no adaptada_`], a unidade foi dividida em 8 partes iguais e alguns pontos foram destacados na reta. Copie as sentenas, substituindo a ... por um nmero racional ou uma das letras que representam os pontos destacados. As sentenas devem ser verdadeiras.
 a) O ponto D representa o nmero racional ... 
 b) O ponto E representa o nmero racional ...
 c) O ponto C representa o nmero racional ...
 d) O nmero racional #=h  representado pelo ...
<P>
 e) O nmero racional -0,5  representado pelo ponto ...
 f) O ponto A representa o nmero racional ... Escolha um dos pontos que no foram destacados e escreva uma sentena envolvendo o nmero representado por ele.

<114>
 13. Copie a reta numerada _`[no adaptada_`] em uma folha de papel quadriculado. 
 a) Represente, na reta que voc desenhou, estes nmeros racionais:

 #;d; -#:d; #=d; -1,5; -#,d; -#=d; #,d.

 b) Observe a representao dos nmeros que voc obteve, nomeie os pontos destacados nessa reta numerada e identifique a abscissa de cada ponto. 
<P>
 c) Nessa mesma reta numerada, represente os pontos:

 F de abscissa #b
 K de abscissa -0,5 
 G de abscissa -#b

 14. Anote as abscissas dos pontos A, B, C, D, E e F, usando um nmero racional na forma decimal: a unidade foi dividida em 5 partes iguais. 

_`[{reta numerada no adaptada_`]

 15. Copie as sentenas, substituindo a ... por um nmero racional, de modo a torn-las verdadeiras: 
 a) O oposto de #=aj  ... 
 b) O simtrico de -0,4  ... 

 16. Copie estas sentenas, substituindo a ... por um nmero racional, de modo a torn-las verdadeiras: 
<P>
 a) O mdulo de -#:h  ...
 b) O valor absoluto de -0,16 
   ... 
 c) O mdulo de 0  ... 
 d) O valor absoluto de -3,25 
   ... 
 Represente as mesmas sentenas anteriores substituindo a ... por smbolos que indicam valor absoluto ou mdulo:

 ...=#:h
 ...=0
 ...=0,16
 ...=3,25
<R->

 Comparao de nmeros racionais 

  Observe a situao a seguir: 
  Lembrando o que aprendemos com os nmeros racionais absolutos e com os nmeros inteiros, podemos comparar dois nmeros racionais. 

<R+>
_`[O professor mostra dois nmeros: -#"e e -#:b na lousa e diz_`]
<R->
  "Qual destes nmeros  o menor?" 

_`[{o aluno pensa_`]
  "Com os nmeros inteiros negativos comparamos os valores absolutos." 

 wr
  Qual  a sua resposta?

<115>
  Como os nmeros so negativos, comparamos os mdulos. O nmero que tem mdulo maior  o menor deles:

 _-#"e_=#"e
 _-#:b=#:b

 m.m.c.`(5, 2`)=10

 #"e=#,!aj
 #:b=#,?aj
 #,!ajo#,?aj
 #"eo#:b
 #"eo#:b -- -#"e-#:b
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+> 
 17. Copie estas sentenas, substituindo a ... por **, *=* ou *o*: 
 a) #:h...#;c
 b) -#=f...-#?d
 c) #*bd...#:h
 d) -#,,f...-#,=ae
 e) 6,3...6,03
 f) 10,5...10,5

 18. A abscissa de M  -#"ae e de P  -#,,ae. 
 a) Qual desses pontos tem abscissa maior? 
 b) Qual deles est mais distante do zero? 

 19. Copie as sentenas a seguir substituindo a ... por **, *=* ou *o*:
 a) -#?c...-#?d
 b) -#,c...-#=ah
 c) +#!e...+#:b
 d) +#:d...-#;g
 e) -2,08...-2,8
 f) -6,04...-6,040

 20. Qual  o nmero simtrico de 12,68?
 21. Certa manh de inverno, a cidade de Campos do Jordo, no estado de So Paulo, amanheceu com uma temperatura oposta a 2,7}C. Que temperatura era essa?
 22. Clia pensou em um nmero de valor absoluto #,:e. Em quais nmeros ela pode ter pensado?
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 23. Marcos escreveu uma sequncia numrica, mas escondeu alguns nmeros. Quais so eles? Copie e complete:
<P>
 -3,8; -3,8; 3,8; -3,8; -3,8; ...; ...; ...; ...; ...

_`[{o menino diz_`]
  "Descubra o primeiro segredo!"

 24. Voc se lembra como eliminamos os parnteses de -+#,;g?
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Basta lembrar do oposto de um nmero."

 -+#,;g -- Oposto de +#,;g, que 
   -#,;g.
 -+#,;g=-#,;g
<116>
<R+>
 Copie eliminando os parnteses: 
 a) --#,;g
 b) -+#,ab
 c) --4,9
 d) -+#"ce
 e) -+0,07
 f) --10,5

 25. O nmero racional 3,4  o mdulo de quais nmeros racionais? 
 26. O ponto R tem abscissa -4 e o ponto S, -#;f. Qual deles est mais prximo de zero?
 27. Compare estes racionais e escreva-os na ordem decrescente:

 #?b; -#=b; -#*d; #*b; -8,05; 2; -8,5.

 28. Um mergulhador est a -18,074 m de altitude quando v um submarino a -16,074 m de altitude. Qual deles est mais longe da superfcie do mar?
 29. Copie e complete estas sentenas substituindo a ... por um nmero racional.
 a) -#=h...
 b) #,}co...
 c) -3,403=...
<R->

 Troque ideias e resolva
 
  Nesta atividade, a letra *x* representa um nmero racional e _x_, o valor absoluto de *x*. Em cada sentena, quais valores de *x* a tornam verdadeira? 
 a) _x_=3
 b) _x_=#:d
 c) _x_=0,6
 d) _x_=0

 Seo + (mais)

 Infinitas casas decimais depois 
  da vrgula...
  ... com algarismos iguais!!!

 0,333333333333...

  Alguns nmeros parecem "brincar" com nossa cabea.

_`[{o professor diz_`]
  "Vocs j conhecem um nmero parecido com este."
 
 -#,i=-0,11111111111...

_`[{a menina diz_`]
  " uma dzima peridica negativa!"
<P>
  Observe tambm esta dzima peridica:

 -#;i=-0,222222222...

<R+>
  Agora calcule as duas primeiras dzimas a seguir e tente descobrir pelo menos um segredo entre elas. Escreva em seu caderno as outras dzimas, sem efetuar divises. 
 a) -#:i
 b) -#i
 c) -#?i
 d) -#!i
 e) -#=i
 f) -#"i

  Observe as casas decimais dos nmeros que voc obteve. Que dzima peridica corresponde a -#*i?
  Como -#*i  igual a -1, que igualdade pode ser escrita envolvendo -1 e -0,99999...? 
<P>
  Que dzima peridica corresponde ao nmero 1?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<117>
 4 -- Operaes com nmeros 
  racionais

  As situaes-problema que envolvem operaes entre nmeros fazem parte do nosso dia a dia. Agora, vamos aprender a calcular com os nmeros racionais positivos e negativos e a resolver problemas em que eles apaream. 

 Adio e subtrao

  Para comear, vamos resolver situaes que envolvem jogos da adio e da subtrao. 
  No jogo da adio, em cada situao jogam-se dois dados: um amarelo e outro vermelho. As fraes so formadas considerando-se: 
<P>
 o nmero da face de cima como numerador e o de baixo como denominador da frao. 
  A soma dos nmeros marcados nas faces opostas de um dado  sempre 7. 
 
_`[{o professor diz_`]
  "Dado amarelo, sinal *-* ... Dado vermelho, sinal *+*."

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Dado vermelho com o nmero 4: +#c
 Dado amrelo com o nmero 1: -#,f
<R->

  No jogo da adio, o que se calcula  a soma de nmeros racionais, expressos pelas fraes que podem ser formadas nos dois dados. 
  Paulo jogou os dois dados, que ficaram como mostra a figura. 

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Dado vermelho com o nmero 3: +#:d
 Dado amarelo com o nmero 2: -#;e

wr
  Qual  o nmero racional obtido em cada dado?
  Que resultado Paulo obteve?
<R->

  Paulo deve calcular a soma +#:d+-#;e. Efetuamos esse clculo eliminando os parnteses e escrevendo os nmeros um ao lado do outro, como fazemos com os nmeros inteiros. 

<R+>
 +#:d+-#;e=#:d-#;e=?5.3-4.
  .2*~20=-?15-8*~20=#=bj

 m.m.c.`(4, 5`)=20

 +#:d+-#;e=#=bj
<R->
  
  Paulo obteve a soma #=bj. 
<118>
  No jogo da subtrao, da frao formada com o dado amarelo subtrai-se a frao formada com o dado vermelho. 
  Eliana jogou os dois dados, que ficaram como mostra a figura.

_`[{figura adaptada_`]
 Dado vermelho com o nmero 5. 
 Dado amarelo com o nmero 1.

<R+>
wr
  Que nmeros ela sorteou?
  Que resultado ela obteve?
<R->

  Com o dado amarelo, temos o nmero racional -#,f e, com o vermelho, +#?b.
  Eliana deve calcular a diferena -#,f-+#?b:

<R+>
 Eliminamos os parnteses.

 -#,f-+#?b=
  =-#,f-#?b=?-1.1-3.5*~6=
  =?-1-15*~6=-#,!e=-#"c

 m.m.c.`(6, 2`)=6

 -#,f-+#?b=-#"c
<R->

  Eliana obteve a diferena -#"c. 
  Pedro pensou em um nmero.
<P>
<R+>
wr
  Esse nmero adicionado a -1,25, resulta em -1,5. Em que nmero Pedro pensou?
<R->
 
  Resolvemos esse problema lembrando que a adio e a subtrao so operaes inversas. Observe: 

<R+>
 +#:d+-#;e=#=bj 
 #=bj-+#:d=#=bj-#,?bj=-#"bj  
 #=bj-+#:d=-#;e
 +#:d+-#;e=#=bj  
 #=bj--#;e=#=bj+#"bj=+#,?bj  
 #=bj--#;e=+#:d
<R->

  Agora, veja um esquema com os dados do problema: 

_`[{esquema adaptado_`]
 nmero +`(-1,25) :> -1,5
 nmero =`(-1,5)-`(-1,25`)

  Calculamos: 

 -1,5--1,25=-1,5+1,25=
  =-0,25

  Pedro pensou no nmero -0,25. 
  Veja outros exemplos, em que calculamos a adio e a subtrao de nmeros racionais. 
<R+>
 1) -3,2+1,85=-3,2+1,85=
  =-1,35
 2) +6,8+-7,2++4,3=6,8-
  -7,2+4,3=-0,4+4,3=3,9
 3) -#*g--#?ad=-#*g+#?ad=?2.
  .9*~14+?1.5*~14=?-18+
  +5*~14=-#;:ad
<R->

<119>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 30. Calcule algumas somas algbricas: 
 a) -#,b+#:d-#;e
 b) -3,4+5,3
 c) 3-#:b-#"e+#=d
 d) -1,2+3,8-5,4-6,8

 31. Qual  o valor destas somas? 
 a) -#=ae+#,f
 b) -0,78++1,47

 32. Calcule estas diferenas: 
 a) -#?ab--#:d
 b) +4,8-+6,12
 c) -17,64--30,4

 33. A soma de dois nmeros racionais  -#*e. Um deles  #*=aj. Calcule o outro nmero.
 34. Subtraindo-se um nmero de 52, obtm-se -85,6. Que nmero  esse? 

 35. Calcule o valor destas expresses: 
 a) +#:e-+#=h+-#*dj
 b) -#=ab--#,h--#:h
 c) -1,25+-0,125--1,08 

 36. Renato escreveu um nmero racional na forma decimal e adicionou a ele #!=be. Para sua surpresa, o resultado foi zero. Que decimal ele escreveu? 
<R->
<P>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 37. No incio do ms, o saldo bancrio de Dino era de R$32,46. Durante o ms, ele pagou contas com dois cheques: um no valor de R$78,30 e outro, de R$119,85. Tambm fez um depsito no valor de R$158,00. 
 a) Qual o valor total dos cheques? 
 b) Qual o saldo de Dino no final desse ms? 

 38. Calcule o valor destas somas algbricas:

_`[{o menino diz_`]
  "Frao? Decimal?" 

_`[{a menina diz_`]
  "Podemos escolher..." 
<P>
 a) -#,;e+0,6
 b) -0,4-#?b+#=c
 c) #,ae-1,4-#"c+1,8

 39. Qual  o valor da diferena -#=f-+0,5? 

 40. Calcule o valor destas expresses numricas: 
 a) -1,25-+#:h
 b) -+1,75--#,d++#:e
 c) -#:d+-#?f--#=c
 d) -1,2+-0,654++0,546
 e) -#:e--1+#,d-+#*d

 41. As letras *x* e *y* representam nmeros racionais. Sendo: x=-3,5-`(#::ab e y=-#,=ab, calcule o valor de: 
 a) x
 b) x-y
 c) -x+y
 d) --x+y
<R->

<120>
<P>
 Usando a calculadora 

  Em muitas situaes, os nmeros conseguem nos surpreender. Veja esta: 
  O nmero -#"c  igual a -2,66666..., que  uma dzima peridica de perodo 6. Essa dzima pode ser obtida dividindo-se -8 por 3. 
<R+>
  Efetue essa operao na calculadora.

  Calcule agora estes produtos e anote-os em seu caderno. A letra *a* j est resolvida. 
 a) 2,6"3=7,8

_`[{teclas: 2 ponto 6  3 =_`]
 b) 2,66"3=...
 c) 2,666"3=...
 d) 2,6666"3=...
 e) 2,66666"3=...
 f) 2,666666"3=...
 g) 2,6666666"3=...
<P>
  Compare os resultados obtidos e encontre alguma regra de formao para o resultado. 
  Os valores a seguir no cabem no visor de uma calculadora simples. Mesmo assim, ser possvel encontrar o resultado pelas observaes que voc fez? Que valores so eles? 

 2,66666666"3
 2,666666666"3
 2,6666666666"3

  Os produtos encontrados aproximam-se cada vez mais de um nmero inteiro. Que nmero  esse?
<R->

 Seo + (mais)

 Qual  a sequncia?

  Na sequncia a seguir, voc pode ver alguns nmeros, mas outros esto ocultos.
<P>
  Nessa sequncia numrica h pelo menos um segredo. 

<R+>
_`[{sequncia adaptada_`]
 2; #:b; 1; ...; 0; ...; -1; ...; ...; ...
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Joo... eu adoro segredos!!!"

_`[{joo diz_`]
  "E eu gosto de desvend-los!"

  E voc? Gosta de desvendar segredos? Que tal descobrir um segredo dessa sequncia numrica? 

<R+>
  Que segredo voc descobriu?  
  Que nmeros esto ocultos segundo o segredo que voc descobriu? 
<R->

<121>
 Multiplicao com nmeros 
  racionais 

  Vamos aprender a multiplicar nmeros racionais resolvendo algumas situaes-problema. 
<P>
  Em uma das aulas de Matemtica, o assunto era a multiplicao de nmeros racionais. 

_`[{o professor diz_`]
  "Pense nos sinais como se os nmeros fossem inteiros, Mrio. Qual  o produto?"; na lousa est escrito: "`(-#,:b`).`(+#:e`)." 

_`[{mrio diz_`]
  " simples, professor. O sinal  *-*. O valor absoluto  o produto #,:b.#:e." 

<R+>
wr
  Qual  o produto da multiplicao dada pelo professor de Mrio?
<R->

  Utilizamos o que aprendemos com a multiplicao de nmeros inteiros e, tambm, com a multiplicao de fraes para calcular -#,:b.+#:e:
<P>
 Os sinais so diferentes... 
  ... o produto  negativo. 

 -#,:b.+#:e=-#,:b.#:e=
  =-?13.3*~?2.5*=-#:*aj=-3,9
 -#,:b.+#:e=-#:*aj=-3,9

  Observe esta outra multiplicao:

<R+>
_`[{na lousa esta escrito: `(-2,8`).`(-0,43`)_`]
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Mas estes so decimais... Hummm... os sinais so iguais... o produto  positivo."
 
_`[{o professor diz_`]
  "Multiplique do modo como voc j aprendeu."

<R+>
wr
  Qual  o resultado de -2,8.-0,43? 
<R->

<122>
<P>
  Em -2,8.-0,43, como os dois fatores tm sinais iguais, o produto  positivo. Alm disso, os fatores tm, ao todo, trs casas decimais; portanto, o produto ter trs casas decimais. Observe: 
 
`(-2,8`).`(-0,43`)=+`(2,8.0,43`)=
  =+`(1,204)=1,204
`(-2,8`).`(-0,43`)=1,204

 Clculos:

<F->
  2,8
 0,43
::::::::::
    84
 + 112
::::::::::
 1,204
<F+>

 2,8 -- 1 casa decimal
 0,43 -- 2 casas decimais
 1,204 -- 3 casas decimais
<P>
  Podemos efetuar esse produto usando uma calculadora. Nesse caso digitamos as teclas a seguir e acertamos o sinal para o resultado que aparece no visor: 

<R+>
_`[{teclas: 2 ponto 8  ponto 4 3 =_`]
<R->

 Inverso multiplicativo 

  Os nmeros racionais diferentes de zero tm um inverso. Veja este exemplo: 

 "Qual  o produto de -#g por 
  -#=d?"

_`[{a menina diz_`]
  "O produto  1!!!"
 
   isso mesmo. Acompanhe os clculos:

 `(-#g`).`(-#=d`)=+?4.7*~?7.4*=
  =?1.1*~?1.1*=1
<P>
  Dizemos que:

<R+>
 -#=d  o inverso multiplicativo, ou apenas inverso, de -#g.
 -#g  o inverso multiplicativo, ou apenas inverso, de -#=d.
 -#=d e -#g so nmeros inversos.
<R->

  Veja outro exemplo: 
  Os nmeros -0,025 e -40 so nmeros inversos, pois -0,025.-40=1.

<R+>
wr
  Qual  o inverso multiplicativo de #,e?
<R->

<123>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 42. Em uma expresso como a do quadro a seguir, quantas casas decimais ter o produto? 
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l -3,04.-0,6.+12,37 _  
h::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
 
 43. Qual  o inverso multiplicativo de -#:g? 

 44. Calcule os produtos a seguir: 
 a) +#=fj.-#,}ba
 b) -0,3.-#;?bd
 c) +0,5.-10,15.-2,4

 45. Calcule o dobro destes nmeros seguintes:
 a) -#,:hj
 b) 10,07

 46. Qual  o produto de -#=ae pelo seu inverso multiplicativo?
 47. Qual  o valor da soma do qudruplo de -#,*af com o dobro de -4,905?
 48. Qual  o inverso multiplicativo de cada nmero?

 #?i; -#"c; 2,4; -0,8.
 
 49. "O som dos meus sonhos!!!", foi o que ocorreu a Carlos ao ler o anncio que caiu em suas mos. Ele no teve dvidas: foi  loja e realizou o sonho. Ele se comprometeu a pagar em 9 parcelas, como anunciado.

_`[{figuras adaptadas_`]
 Aparelho de som: 9 vezes de 137,14
 Relgio: 3 vezes de 26,60
 Estante rack: 9 vezes de 32,75
 Impressora: 9 vezes de 49,20

 a) Quanto vai custar o aparelho de som que Carlos comprou?
 b) Carlos j pagou 3 parcelas e, portanto, ainda est devendo  loja. De quanto  a sua dvida? Apresente sua resposta usando nmeros negativos.

 50. Anita leu o mesmo anncio que Carlos e conseguiu comprar a impressora pagando  vista e com desconto de 15%. Para isso, usou suas economias, que eram de R$296,50, e um emprstimo que fez com sua tia Marta. 
 a) Qual  o preo da impressora em 9 parcelas? 
 b) De quanto foi o desconto?  
 c) Quanto Anita pagou pela impressora?  
 d) Quanto Anita deve  tia? Apresente sua resposta usando nmeros negativos.
<R->

 Troque ideias e resolva

  Oposto  o mesmo que inverso? Voc est em dvida? 

<R+>
  Ento, desenhe em seu caderno uma tabela como esta e complete-a: 
 
_`[{tabela adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: x (representa um nmero racional).
 2 coluna: Oposto de x.
 3 coluna: Inverso de x.
<P>
 4 coluna: x + (oposto de x).
 5 coluna: x . (inverso de x).

 35 -- ''' -- #,ce -- 35+-35=''' -- 35.#,ce=''';
 ''' -- #;"ag -- ''' -- ''' -- ''';
 ''' -- ''' -- 100 -- ''' -- ''';
 -#,df -- ''' -- ''' -- ''' -- ''';

  Afinal, oposto  ou no o mesmo que inverso? Explique, usando suas prprias palavras.  
<R->

<124>
 Seo + (mais)

 Nmeros em crculos 

  Na figura _`[no adaptada_`] existem trs circunferncias coloridas: uma verde, uma azul e uma vermelha. Sobre cada uma delas existem quatro crculos amarelos hachurados. 
<R+>
  Desenhe uma figura como esta em seu caderno e escreva um destes nmeros em cada crculo:

 1; #,b; -#,c; -#,d; #,f; #,ab. 
<R->
  Em cada circunferncia, o produto dos nmeros que esto nos crculos deve ser #,add. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Diviso com nmeros racionais 

  Vamos aprender a dividir nmeros racionais resolvendo algumas situaes-problema. 
  A professora de Pedro escreveu um quociente na lousa. 

 `(-#;=d`)`(-#*b`)

_`[{a professora diz_`]
  "Observe os sinais!"

_`[{o menino diz_`]
  "sinais diferentes... ... quociente negativo" 
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "sinais iguais... ... quociente positivo" 

<R+>
 wr 
  Qual  o valor desse quociente? 
<R->

  Efetuamos a diviso de dois nmeros racionais aplicando o que aprendemos na diviso de nmeros inteiros e, tambm, na diviso de fraes: 
<R+>
  O sinal do quociente: como os nmeros tm sinais diferentes, o quociente ter sinal negativo. 
  O mdulo do quociente  o resultado de #;=d#*b. Calculamos esse quociente multiplicando #;=d pelo inverso multiplicativo de #*b. 

`(-#;=b`)`(+#*b`)=-`(#;=d#*b`)=
  =-`(#;=d.#;i`)=-?3.1*~?2.1*=
  =-#:b=-1,5
<P>
 Sinais diferentes... ... quociente negativo. 

`(-#;=d`)`(+#*b`)=-#:b=-1,5

<125> 
 wr
  Qual  o quociente da diviso a seguir? `(-#,!be`)`(-#!ce`) 
 
 Sinais iguais ... ...quociente positivo.

`(-#,!be`)`(-#!ce`)=+#,!be.#:?fd=
  =+?1.7*~?5.4*=#=bj
<R->

  Outro exemplo: "Qual  o resultado de `(+2,16)`(0,04`)?". 
 
 `(+21,6`)`(-0,04`)=-`(21,60,04`) 

_`[{a professora diz_`]
  "Calculamos o quociente de 21,6 por 0,04. Lembre de acertar as casas decimais." 
<P>
 21,60,04
 21,600,04=540
`(+21,6`)`(-0,04`)=-540 
 
  Se usar uma calculadora, digite estas teclas e ajuste o sinal: 

<R+>
_`[{teclas: 2 1 ponto 6  ponto 0 4 =_`]
<R->

 Multiplicar para dividir 

  Em algumas situaes que envolvem a diviso, podemos calcular o quociente efetuando uma multiplicao. 

<R+>
 1.8560,5=... 
 Multiplique 1.856 por 2 e voc ter o quociente! 
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Por que isso d certo?" 
<P>
  Veja por que esse procedimento d certo: 

 1.8560,5=1.856#,b=1.856.#;a=
  =3.712 
 1.8560,5=3.712 

_`[{o menino diz_`]
  "Dividimos 1.856 por 0,5 e o quociente  maior que 1.856... Que estranho!!" 

_`[{outro menino diz_`]
  ", mas deve haver alguma explicao..." 

<126>
  Dividir 1.856 por 0,5 significa saber quantos 0,5, ou meios, cabem em 1.856. Como meio  a metade de 1, meio cabe o dobro de vezes que 1 cabe em 1.856, ou seja, 1 cabe 1.856 vezes em 1.856 e meio cabe 2 vezes 1.856. 
<P>
<R+>
 wr
  Como dividir um nmero por 0,2 utilizando a multiplicao? 
  Como dividir 0,25 utilizando a multiplicao?  
<R->

  Veja como dividir 1.856 por 0,2 e por 0,25 utilizando a multiplicao: 

 1.8560,2=...

_`[{o menino diz_`]
  "Divida por 0,2, multiplicando por 5." 

 1.8560,2=1.856#,e=1.856.#?a=
  =9.280
 1.8560,2=9.280 

 1.8560,25=...

_`[{o menino diz_`]
  "Divida por 0,25, multiplicando por 4." 
<P>
 1.8560,25=1.856#,d=1.856.
  .#a=7.424
 1.8560,25=7.424 

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 51. Dividindo -#;aa por -#!}bb, que resultado se obtm?  

 52. Determine os quocientes: 
 a) `(+#:;e`)`(-40)
 b) `(-#;ge`)`(+#?!ae`)
 c) `(-#,:ab`)`(-2,6)
 d) `(+#=?h`)`(-25)
 e) `(+24`)`(-#:;be`)
 f) `(+1,69`)`(-0,65`)

 53. Qual  o nmero que, multiplicado por 0,05, resulta em -35?  
 54. Qual  o nmero que, dividido por #;c,  igual a -#e?  
<P>
 55. Multiplicando 1.028 por 4 encontramos o quociente de 1.028 por qual nmero?  

 56. Multiplique para encontrar o quociente. 
 a) `(+583)`(-0,5) 
 b) `(-215)`(+0,2)  
 c) `(-15,09)`(-0,25)  
 d) `(+3,12)`(-0,5)  
 e) `(+364)`(-0,25)  
 f) `(-120)`(-0,75)  

<127> 
 Troque ideias e resolva 

  Dividir -520 por 0,25  o mesmo que multiplicar -520 por 4? Justifique a resposta em seu caderno. 
  Qual  o resultado de -5200,25?  

  Calcule mentalmente:  
 a) 900,25 
 b) 90,25  
 c) 0,90,25  
<R->

 Usando a calculadora 
 
  H pelo menos um segredo entre os nmeros marcados nestes tijolinhos, empilhados uns sobre os outros: 

<F->      
      pccccccc
      l 2,05 _
   pccccccpcccccc
   l-4,1 l -2  _
pccccccpccccccpccccc
l16,4 l -4  l 2  _ 
h:::::h:::::::h:::::j
<F+>

 _`[{o menino diz_`]
  "Observe os nmeros: 
  da esquerda para a direita, 
  de baixo para cima, 
  de dois em dois..." 

  E ento? Descobriu um segredo? Use-o para preencher os tijolinhos do desenho a seguir. Faa isso em seu caderno. 
<P>
<F->
          pccccc
          l ''' _
       pcccccpccccc
       l ''' l ''' _
    pccccccpcccccpccccc
    l 6,4 l ''' l ''' _
pccccccccpcccccpccccccpccccc
l-204,8 l ''' l 100 l 25 _ 
h::::::::h:::::h::::::h:::::j
<F+>

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 57. Calcule: 
 a) `(-36)`(-70`)  
 b) `(-#"be`)`(+#,!ej`)
 c) 0.`(-#:?ac`)
 d) `(-#,?cg`)0
 e) 0`(-#*ce`)
 f) `(+#,}}ac`)`(-#;?bf`) 
<p>
 58. Represente estas expresses usando as operaes e calcule: 
 a) o produto de -1,8 por -#,?gb; 
 b) o quociente de #;fd por -#*bd; 
 c) o quociente de -0,05 por #:?dj; 
 d) o quociente de -#?}ac pelo inverso multiplicativo de -0,39.
 
 59. Esta cartela _`[no adaptada_`] oculta um nmero. Multiplicando esse nmero por 3,04 e adicionando 9,97 ao resultado, obtemos -15,87. Que nmero est oculto?  
 60. A expresso -#i~-#;}c  igual a `(-#i`)`(-#;}c`). Qual  o valor de -#i~-#;}c?  
 61. Qual  o valor da expresso a seguir? 

 1~?1+1~?1+1~?1+1***

<128>
<P>
 Problema resolvido

 62. A igualdade a seguir expressa uma sentena matemtica. Nela, a letra *m* representa um nmero racional. Que valor de *m* a torna uma sentena verdadeira? 

 ?2.m+25*~13=1 

 O nmero racional 1 pode ser representado por qualquer frao que tenha termos iguais. 

 1=#?e=#,:ac=#;=bg=#,}}ajj

 Ento, para que ?2.m+25*~13=1 seja uma sentena verdadeira, o numerador deve ser igual ao denominador. Como o denominador  13, devemos ter 2.m+25=13. 
 Calculamos o valor de *m*, usando as operaes e suas inversas. 
<P>
 Observe: 

 2.m+25=13
 13-25=-12
 `(-12`)2=-6
 m=-6

 Verificao:
 Substituindo *m* por -6 em ?2.m+25*~13 e efetuando clculos, o resultado dever ser 1: 
 
 ?2.`(-6)+25*~13=?-12+25*~
  ~13=#,:ac=1 

 Resposta: O valor de *m*  -6. 

 63. Nesta sequncia, as letras *a* e *b* representam dois nmeros racionais:

 a.b=1                        
 a=`(-2)`(+#c`)+`(+#be`)`(-#"e`)

 a) Qual o valor de *a*?
 b) Qual  o valor de *b*?

 64. As letras *m*, *n* e *x* representam nmeros racionais. Quais so eles? 
 a) 1~?m-15*=1
 b) 3~?x+#:be*=1
 c) ?3.n+45*~24=1 
<R->
 
 Seo + (mais)

 Os nmeros e seus segredos

  Neste no quadro a seguir, voc tem uma sequncia de nmeros racionais diferentes de zero.
  Beto, que gosta de desafiar os colegas, ocultou alguns desses nmeros. Pense um pouco e descubra quais so eles.

_`[{beto diz_`]
  "Existe pelo menos um segredo!!!" 
<P>
<R+>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::
l-27; +9; -3; ...; ...; +#,i;_ 
l  ...; ...; ...                _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

5 -- Nmeros racionais e 
  potncias 

  Vamos aprender mais sobre potncias trabalhando com as potncias de nmeros racionais positivos e negativos. 
  Observe o dilogo:

_`[{tnia diz_`]
  "Afinal, quantos fatores voc vai escrever?" 

 _`[{o menino diz_`]
  "Oito, Tnia, oito..."; o menino est escrevendo na lousa: "`(-#;c`)".  

_`[{tnia diz_`]
  "Que tal abreviar?" 
<P>
_`[{o menino pensa_`]
  "`(-#;c`)8"

<R+>
 wr
  Qual  o valor de `(-#;c`)8. 

 `(-#;c`)8  o produto da multiplicao de oito fatores iguais a -#;c:

 `(-#;c`).`(-#;c`).`(-#;c`).
  .`(-#;c`).`(-#;c`).`(-#;c`).
  .`(-#;c`).`(-#;c`)=-?2.2.2.2.
  .2.2.2.2*~?3.3.3.3.
  .3.3.3.3*=+28~38=
  =#;?!f.efa
<R->

_`[{tnia diz_`]
  "So 8 fatores negativos, e 8  par... Isso significa que a potncia  positiva." 

 `(-#;c`)8=+28~38 ou 
  `(-#;c`)8=#;?!f.efa
<P>
  Na potncia `(-#;c`)8 a base  um nmero racional e o expoente, um nmero natural. 
  Veja outros exemplos: 

 1) `(+0,4`)3=`(+0,4`).`(+0,4`).
  .`(+0,4`)=+0,064 
 `(+0,4)3=+0,064 

 2) `(-#,c`)3=`(-#,c`).`(-#,c`).
  .`(-#,c`)=-#,bg
 `(-#,c`)3=-#,bg

_`[{tnia diz_`]
  "Se a base  um nmero racional positivo, a potncia  sempre um nmero positivo." 

_`[{o menino diz_`]
  "Mas, se a base for negativa, o sinal da potncia vai depender do expoente. Com expoente par,  positivo; com expoente mpar,  negativo." 

<130>
<P>
 Os expoentes zero e 1 

  Tambm, em relao aos nmeros racionais, vamos combinar que: 
<R+>
  quando o expoente  1, a potncia  sempre igual  base; 
  quando a base  diferente de zero e o expoente  zero, a potncia  sempre 1. 
<R->

  Veja os exemplos: 

`(+#=ae`)1=#=ae; `(-0,8`)1=-0,8; 
  01=0; `(+5,16`)0=1.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 65. Indique um produto de cinco fatores iguais a -#,,c de forma abreviada.  
 66. Identifique a base, o expoente e a potncia na igualdade `(-#,b`)3=-#,h.
<P>
 67. Apresente duas potncias: uma positiva e outra negativa de base -#*ac. 
 68. Qual  o valor de `(-32,18)0?  
 69. Elevando -0,54 a um determinado expoente, obteve-se o resultado 1. Que expoente foi esse?  

 70. Calcule estas potncias: 
 a) `(-#=e`)3
 b) `(-#:b`)5
 c) `(-0,9`)3
 d) `(+#,}i`)5
 e) `(+0,1`)4
 f) `(-0,15`)2

 71. Anote o valor de cada expresso: 
 a) `(-10+3,409`)0  
 b) `(#"c-2`)1

 72. Copie as sentenas substituindo a ... por **, *o* ou *=*, de modo a torn-las verdadeiras: 
<P> 
 a) `(+#?f`)2...`(-#:e`)4 
 b) `(-#,}c`)3...`(-#,bc`)2
 c) `(-0,7`)3...`(-2,1`)3
 d) `(-0,9`)2...`(-0,09`)2

 73. Calcule o valor destas expresses numricas: 
 a) `(-8+#,:b`)3-#,ab`(-#;c`)2
 b) -10.`(-#;e`)2-`(-#,b`)3

 74. Neste exerccio, as letras *a*, *z* e *y* representam nmeros racionais.

a=#;?h-#,:d 

 a) Qual  o valor de *a*? 
 b) Qual  o valor de a3? 
 c) Se a.y=1, ento qual  o valor de *y*? 
 d) Se z+a=0, ento qual  o valor de *z*?  

 75. Responda a estas questes: 
 a) Qual  o valor do quadrado da soma de -#?f com #?i, ou seja, de `(-#?f+#?i`)2? 
 b) Qual  o valor da soma do quadrado de -#?f com o quadrado de #?i ou seja, de `(-#?f`)2+`(#?i`)2?
 c) Compare os resultados dos itens anteriores. Qual das expresses tem valor maior? 

 76. Neste exerccio as letras *x* e *y* representam nmeros racionais diferentes de zero. Se x=-#;e e x3.y=1, qual  o valor de *y*? 

<131>
 Usando a calculadora 

  Calcule `(-2,3`)6 usando uma calculadora. 

 6 -- Expoente: par 
 -2,3 -- Base: nmero negativo 
<R->

  Primeiro encontre o sinal da potncia. 
  Em seguida, digite a sequncia de teclas e anote o resultado em seu caderno. 

<R+>
_`[{teclas: 2 ponto 3  = = = = =_`]
<R->

  Calcule a potncia de `(+0,7`)5 e `(-184,6`)2.  

 Propriedades das potncias de 
  bases iguais 

 Multiplicao e diviso 

  Como multiplicar e dividir nmeros racionais elevados a potncias? Observe: 

_`[{o professor diz_`]
  "Quando as bases so iguais, valem as propriedades que vocs j aprenderam!"; na lousa est escrito: "`(-#*e`)2.`(-#*e`)=... e `(+1,4`)4`(-1,4`)3=..." 

_`[{o menino diz_`]
  "Ento j sabemos muita coisa!!!" 
<P>
<R+>
 wr
  Escreva em seu caderno o produto `(-#*e`)2.`(-#*e`) como uma s potncia.  

 `(-#*e`)2.`(-#*e`) --  um produto de potncias de bases iguais.
 `(-#*e`)2.`(-#*e`)=`(-#*e`).`(-#*e`).
  .`(-#*e`)=`(-#*e`)?2+1* 
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "A base  `(-#*e`)... os expoentes so 2 e 1." 

`(-#*e`)2.`(-#*e`)=`(-#*e`)?2+1*=
  =`(-#*e`)3

<R+>
 O produto de potncias com bases iguais  uma potncia com a mesma base e expoente igual  soma dos expoentes dos fatores.

<132>
 wr 
  Simplifique em seu caderno a expresso `(+1,4`)4`(+1,4`)3.  
<p>
 `(+1,4`)4`(+1,4`)3 --  um quociente de potncias de bases iguais. 
 `(+1,4`)4`(+1,4`)3=
  =`(+1,4`)4~`(+1,4`)3=
  =?`(+1,4`).`(+1,4`).`(+1,4`).
  .`(+1,4`)*~?`(+1,4`).`(+1,4`).
  .`(+1,4`)*=`(+1,4`)~1=
  =`(+1,4`)1=1,4
 `(+1,4`)4`(+1,4`)3=
  =`(+1,4`)?4-3*=`(+1,4`)1=1,4
<R->

  Portanto: 

<R+>
 O quociente de potncias com bases iguais e divisor diferente de zero  uma potncia com a mesma base e expoente igual  diferena entre os expoentes do dividendo e do divisor.
<R->

 Potncia de potncia 

   uma potncia na qual a base  outra potncia. 
<P>
<R+>
 base: `(-#,:g`)4 expoente: 3 

 `(-#,:g`)43 --  uma potncia de potncia. 
 `(-#,:g`)43=`(-#,:g`)4.
  .`(-#,:g`)4.`(-#,:g`)4=
  =`(-#,:g`)?4+4+4*=`(-#,:g`)?3.
  .4*=`(-#,:g`)12
 `(-#,:g`)43=`(-#,:g`)?3.4*=
  =`(-#,:g`)12
<R->

  A potncia de potncia, como por exemplo `(-#,:g`)43,  uma potncia de base `(-#,:g`) com expoente igual ao produto dos expoentes, 3.4. 

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 77. Escreva estas expresses como uma s potncia: 
 a) `(-#;e`)4.`(-#;e`)3
 b) `(+0,8`)20`(+0,8`)6  
 c) `(+#,:ab`)30`(+#,:ab`)30
 d) `(-3,75)25`(-3,75`)17  
<P>
 78. Calcule: 
 a) `(-#,=cj`)10`(-#,=cj`)9
 b) `(-0,05`)30`(-0,05)28  

 79. Calcule o valor desta expresso:  

 `(-#,b`).`(-#,b`)2-`(-#i`)11
  `(-#i`)10

 80. Qual  o valor de cada expresso numrica? 
 a) `(-#,b`)32
 b) `(+#:d-1`)22
 c) `(-#?f`)6`(-#?f53
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<133>
 6 -- Potncias e expoentes 
  negativos

  Pode parecer estranho, mas existem nmeros racionais com expoentes negativos. Eles so muito utilizados nas reas de Cincias, Biologia, Fsica e em pesquisas especficas em outras 
<P>
 reas. Vamos aprender um pouco sobre eles. 

_`[{a professora diz_`]
  "Bem, Gabriel, este  o problema de hoje. Pense em um resultado..."; na lousa est escrito "2-1=..." 

_`[{gabriel pensa_`]
  "Resultado?!?" 

  A sequncia numrica a seguir apresenta pelo menos um segredo. 

_`[{sequncia adaptada_`]
 24 -- 16
 23 -- 8
 22 -- 4
 21 -- 2
 20 -- 1
 2-1 -- ...
 
_`[{gabriel diz_`]
  "Ser 12?"
<P>
<R+>
 wr 
  Descubra o segredo e encontre uma resposta para a questo proposta.  
<R->

  Cada termo da sequncia dada, a partir do segundo termo,  o anterior dividido por 2. Ento, o termo seguinte ao 1 dever ser 12, ou seja, #,b: 

<R+>
 2-1=#,b -- 2-1  o inverso de 2. 

 ou seja, 2-1.2=2-1.21=
  =2?-1+1*=20=1 
<R->

  Observe outros exemplos: 
<R+>
 1) 10-1=#,aj -- inverso de 10 
 2) `(+#:h`)-1=+1~#:h=#"c -- inverso de #:h 
 3) `(-#ac`)-1=-1~#ac=-#,:d -- inverso de -#ac 
 4) `(-0,7`)-1=`(-#=aj`)-1=-#,}g -- inverso de -0,7 
<P>
 Se *a* representa um nmero racional diferente de zero, ento a-1=1~a e a-1  iverso de a.
 
<R->
<134> 
  Podemos continuar dividindo por 2 os termos da sequncia numrica anterior e obtemos o resultado de 2-2. Observe: 

_`[{sequncia adaptada_`]
 24 -- 16 
 23 -- 8
 22 -- 4
 21 -- 2
 20 -- 1
 2-1 -- #,b
 2-2 -- #,d

 #,d=1~22

 2-2=#,d ou 2-2=1~22 ou 
  2-2=`(#,b`)2=#,d
<P>
  Observe tambm que 2-2 e 22 so nmeros inversos.
 
 2-2.22=2?-2+2*=20=1 

_`[{a menina diz_`]
  "2-2  o inverso de 22 ou seja, de 4."

  Outros exemplos: 
<R+>
 1) `(+0,6`)-3=1~`(+0,6`)3=
  =1~`(+#!aj`)3=1~`(+#:e`)3=
  =1~#;=abe=#,;?bg
 `(+0,6`)-3=#,;?bg 
 
 Voc pode calcular de outro modo.

 `(+0,6`)-3=`(+#!aj`)-3=
  =`(+#,}f`)3=`(+#?c`)3=#,;?bg

 2) `(+#,i`)-2=`(-#*ad`)2=+#",aif
 `(+#,i`)-2=#",aif

 Note que se *a* representa um nmero racional diferente de zero, e *n*, um nmero natural: a-n e an so nmeros inversos.
<P>
 a-n.an=a?-n+n*=a0=1
 a-n=1~an ou a-n=`(1~a`)n
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 81. De que outra maneira podemos representar o inverso de 3? E de 4?  
 82. Qual  o valor de `(-5`)-3?  

 83. Calcule o valor de: 
 a) 23-1 
 b) `(-#,ai`)-1 
 c) `(-4`)-5
 d) (0,05)-2 
 e) `(-#,aj`)-5
 f) `(-#,}g`)-4
 
 84. Como 27=33, usando expoentes inteiros negativos, podemos escrever 3-3 para representar #,bg. Procedendo da mesma forma, como podemos escrever #,af?  
<P>
 85. Copie estas sentenas, substituindo a ..., de modo a torn-las verdadeiras:
 a) `(-#*d`)-1  o inverso de ...
 b) (25)-1  o inverso de ... 
 c) `(-#be`)3  o inverso de ...

 86. Como escrever #,gbi usando fatores primos e expoente inteiro negativo? 
<R->

<135>
 Potncia de base 10 e expoente 
  negativo 

  A escrita dos nmeros racionais na forma decimal pode ser simplificada com o uso de potncias de base 10 com expoentes negativos. Essa simplificao facilita tambm os clculos que fazemos nas situaes em que elas esto envolvidas. 
  Observe a soluo proposta pela professora Laura. 
<P>
_`[{a professora diz_`]
  "E ento, Edu, que nmero  este?"; na lousa est escrito: "0,000001."

_`[{edu diz_`]
  " difcil de ler e tem muitos zeros para escrever!!" 

<R+>
 wr 
  Voc conhece outra forma de representar esse nmero?  
<R->

  Em casos como esse que foi apresentado, podemos utilizar expoentes negativos e abreviar a escrita. 

<R+>
 0,000001=#,a.jjj.jjj=#,aj6 

 0,000001 -- seis casas decimais
 1.000.000 -- seis zeros

0,000001=10-6
<R->
<P>
_`[{edu diz_`]
  "Seis casas decimais, expoente -6. Que legal!!!"

<R+>
 wr
  Represente 0,000000001, em seu caderno, usando uma potncia de base 10.
<R->

  Outros exemplos:
<R+>
 1) 0,00008=#"ajj.jjj=
  =#"aj5=8.#,aj5
 0,00008=8.10-5

 2) -0,000000038=
  =-#:"a.jjj.jjj.jjj=-#:"aj9=
  =-38.#,aj9
 0,000000038=-38.10-9
<R->

<136>
 Fazer e aprender
 
  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 87. Escreva estes nmeros, usando potncias de 10: 
<P>
 a) 0,00003 
 b) 0,0000005  
 c) 0,00000092  
 d) -0,0006  
 e) -0,00016  
 f) -0,000418  

 88. Determine o valor da expresso: `(-0,002)-3. 
<R->

 Troque ideias e resolva

 Dinheiro chama dinheiro!!!!

_`[{alberto pensa_`]
  "Hum! Vou guardar moedas no cofre. Quem sabe duas moedas de R$1,00 hoje... ... o dobro amanh, o dobro do que eu tiver amanh depois de amanh..." 

  E, assim, Alberto comeou a fazer planos, pensando no futuro. 
  No quinto dia, no entanto, ele percebeu que no iria conseguir chegar ao dcimo. 
  Ento mudou de ideia e comeou com duas moedas de R$0,10. 
<P>
<R+>
  Que quantia ele conseguiu economizar em 10 dias?  
<R->

Seo + (mais)

 Particularidades das 
  potncias de 10 

  Vamos descobrir algumas delas? 
<R+>
  Construa em seu caderno tabelas como estas e complete-as: 

_`[{tabelas adaptadas em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Potncia de 10
 2 coluna: Valor
 3 coluna: Quantidade de zeros

<F->
a) !:::::::::::::::::::
    l 1    _ 2  _ 3 _
    r::::::::w::::::w:::::w
    l 102 _ 100 _ 2  _
    l 103 _ '''  _ ''' _
    l 104 _ '''  _ ''' _
    l 105 _ '''  _ ''' _
    l 106 _ '''  _ ''' _
    h::::::::j::::::j:::::j
<P>
b) !:::::::::::::::::::::
    l 1     _ 2   _ 3 _
    r:::::::::w:::::::w:::::w
    l 10-2 _ 0,01 _ 2  _
    l 10-3 _ '''   _ ''' _
    l 10-4 _ '''   _ ''' _
    l 10-5 _ '''   _ ''' _
    l 10-6 _ '''   _ ''' _
    h:::::::::j:::::::j:::::j
<F+>
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Propriedades e regras ajudam no clculo mental." 

<R+>
  Agora, copie e complete estas frases em seu caderno: 
 Regras
 a) A potncia de base 10 em que o expoente  um nmero inteiro positivo  ... 
 b) A potncia de base 10 em que o expoente  um nmero inteiro negativo  ... 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<137>
<P> 
 7 -- Nmeros racionais e a raiz 
  quadrada 

  Analise este problema e procure uma soluo para ele. 

_`[{a professora diz_`]
  "Um nmero elevado ao quadrado  #;?fd." 
 
 wr
  Qual  esse nmero? 
 
_`[{a menina diz_`]
  "+#?h  uma soluo!"

<R+>
 `(+#?h`)2=+52~82=#;?fd
 Mas -#?h tambm  uma soluo. Observe:
 `(-#?h`)2=`(-#?h`).`(-#?h`)=
  =+52~82=#;?fd 
<R->

  Existem, portanto, duas respostas para o problema proposto: +#?h ou -#?h. 
<P>
<R+>
 wr
  Utilize o que voc aprendeu sobre a raiz quadrada e calcule um valor para #;?fd.  
<R->
 
  Podemos ter: 

 #;?fd=+#?h, porque `(+#?h`)2=
  =#;?fd.  

  Ou podemos ter: 

 #;?fd=-#?h, porque `(-#?h`)2=
  =#;?fd.  
 
<138> 
  Como a raiz quadrada de um nmero racional deve ser um nmero nico, vamos combinar que: 
 
 #;?fd=#?h

_`[{a menina diz_`]
  "Mas, ateno!!!" 
<P>
<R+>
 -#;?fd no  um nmero racional porque no existe nenhum nmero racional que, elevado ao quadrado, seja -#;?fd. 
<R->

  E, tambm, -#;?fd=-#?h. 
  Outro exemplo: 
 
 1,44=?#,ajj*=??24.
  .32*~?22.52**=
  =?2?42*.3?2
  2**~?2?22*.5?22**=
  =?22.3*~?2.5*=#,;aj=1,2

 1,44=1,2

 Fazer e aprender 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 89. -#:!di  um nmero racional? Por qu? 
 90. Qual  o valor de -1,44 
 91. Qual  o nmero racional que, elevado ao quadrado, resulta em 1,21?  
 92. A rea de uma chapa metlica quadrada  1,69 m2. Quanto mede o lado dessa chapa?  

 93. Calcule: 
 a) #?=!afi 
 b) #;.;?a.gfd
 c) -#"ghd
 d) -0,000144
<R->
  
 Usando a calculadora 

  Utilize uma calculadora e resolva estes problemas em seu caderno. 
<R+>
  Qual  o permetro de uma sala quadrada cuja rea  29,16 m2?  
<R->

  Digite a seguinte sequncia de teclas: 2 9 ponto 1 6 

<R+>
  A rea de um quadrado  1.030,41 m2. Qual ser seu permetro?  
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<139>
 8 -- Tratamento da informao 

 Os nmeros racionais negativos e 
  os grficos

  J conhecemos um pouco sobre grficos que representam resultados de pesquisas. Vamos aprender a representar dados coletados, quando eles so nmeros racionais negativos. 
  Uma rede de hotis reorganizou seu oramento. 
  Eles realizaram alguns cortes em seus gastos. O grfico mostra a situao dos itens afetados, dois meses depois dos cortes. 
<R+>

_`[{grfico *Reorganizao do oramento* adaptado; contedo a seguir_`]
 Legenda:
 A -- Alimentao
 B -- Material de limpeza
 C -- gua
 D -- Energia eltrica
<P>
<F->
 A    B     C     D
:==::::==:::::==:::::==::::
               
               
-4%            
      -7,6% gg     
             -8%   
                    -10%
<F+>

 wr 
  Qual foi o percentual de reduo de gastos com alimentao?  
  Qual foi o item mais atingido pela reorganizao?  
<R->

  Na leitura desse grfico, observamos que, no item gua, o registro -8% significa que houve um corte de 8% no gasto com a gua. 
  Ainda nessa leitura podemos dizer que, no item material de limpeza, o registro -7,6% significa que houve um corte de 7,6% no gasto com esse tipo de material. 
<P>
<R+>
 wr
  Suponha que o gasto com o material de limpeza era de R$12.000,00 antes de serem efetuados os cortes. Se houve -7,6% de gasto com esse tipo de despesa, qual foi a quantia que a rede de hotis economizou nesse item?  
<R->

  Veja como se calcula -7,6% de R$12.000,00: 

<R+>
 -7,6% de 12.000=-7,6%.
  .12.000=-0,076.12.000=-912 
 -912 significa corte de R$912,00 nos gastos, ou seja, houve uma economia de R$912,00 com material de limpeza. 
<R->

 Mdia aritmtica 

   muito comum ouvir frases como estas em nosso dia a dia: 
<P>
<R+>
 -- Em Portugus, estou com notas acima da mdia. 
 -- A velocidade mdia de certo piloto na Frmula 1  de 280 km/h. 
 -- No faa mdia comigo! 
 -- Garom, por favor, traga uma mdia e po com manteiga. 
<R->

<140> 
  Como se pode ver, a palavra mdia pode ter vrios significados. Um deles  utilizado quando trabalhamos com valores numricos. Vamos ver um exemplo: 
  Esta tabela mostra o nmero de gols marcados pelo jogador Pinguim nos dez primeiros jogos de um campeonato. 

<R+>
<F->
_`[{tabela *Pinguim goleador* adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Jogo
2 coluna: Nmero de gols
<P>
!:::::::::::
l 1  _ 2 _
r::::::w:::::w
l 1  _ 2  _
l 2  _ 3  _
l 3  _ 2  _
l 4  _ 0  _
l 5  _ 2  _
l 6  _ 1  _
l 7  _ 2  _
l 8  _ 2  _
l 9  _ 4  _
l 10 _ 2  _
h::::::j:::::j
<F+>

 wr
  Na sua opinio, que nmero de gols representaria bem o desempenho de Pinguim nesses dez jogos?  
<R->

  Podemos afirmar que Pinguim fez, em mdia, 2 gols por partida nesses dez jogos. 
  O valor 2  denominado mdia aritmtica dos valores 2, 3, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 4, 2 e  calculado adicionando-se todos os valores (nmero de gols) e dividindo a soma obtida pelo nmero total de jogos. 

 Mdia aritmtica =?2+3+2+0+
  +2+1+2+2+4+2*~10=#;aj=
  =2 
 
  Essa mdia significa que, se Pinguim pudesse marcar o mesmo nmero de gols por partida, ele marcaria 2 gols em cada uma. 

<R+>
 A mdia aritmtica de *n* valores  o quociente que obtemos dividindo a soma dos valores por *n*.
<R->

 Troque ideias e resolva

  Em algumas situaes, dividimos para calcular porcentagens. Copie estas sentenas em seu caderno, substituindo a ... por um nmero, de modo a torn-las verdadeiras: 
<P>
<R+>
  Para calcular 20% de um nmero qualquer, basta dividir esse nmero por ... 
  Para calcular 25% de um nmero qualquer, basta dividir esse nmero por ... 
  Calcule 25% de R$36.000,00.  
  Para calcular 50% de um nmero qualquer, basta dividir esse nmero por ... 
  Calcule 50% de 186,4 toneladas de acar. 
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 94. Observe o grfico dado no texto da pgina 407.
 a) Construa um grfico de barras com esses dados. 
 b) O que significa o registro -4% em alimentao? 
<P>
 c) De quantos por cento foi o total de cortes nos itens pesquisados? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 95. Laura tem 12 anos e faz parte do time titular feminino de basquete da escola. As outras titulares desse time tm 11, 13 e duas tm 10 anos. Qual  a idade mdia das titulares desse time de basquete? 
<141> 
 96. O quadro a seguir mostra a despesa que a equipe de Pedro teve ao fazer um trabalho de segundo semestre para a escola. De quanto foi a despesa mdia por ms nesse perodo?

<F->
_`[{quadro adaptado em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Ms
2 coluna: Despesa R$
<P>
!::::::::::::::::
l 1    _ 2    _
r::::::::w::::::::w
l Maro _ 49,00 _
l Abril _ 32,80 _
l Maio  _ 25,50 _
l Junho _ 58,30 _
h::::::::j::::::::j
<F+>

 97. Uma escola fez uma pesquisa entre os alunos do 7 ano para saber quantas horas de estudo eram dedicadas a cada disciplina. Uma das perguntas feitas foi: Qual disciplina exige mais horas de estudo? O resultado est representado neste grfico de colunas. Analise-o e responda s questes em seu caderno: 

<F->
_`[{grfico *Disciplina que exige mais horas de estudo* adaptado em forma de tabela de duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Disciplina
2 coluna: Nmero de alunos %
<P>
Legenda:
L -- Lngua Portuguesa
M -- Matemtica
C -- Cincias
H -- Histria
G -- Geografia
A -- Arte

!::::::::::::
l 1 _ 2   _
r:::::w:::::::w
l L  _ 23,8 _
l M  _ 22,4 _
l C  _ 18   _
l H  _ 16,3 _
l G  _ 11,8 _
l A  _ 7,5  _
h:::::j:::::::j
<F+>

 a) Qual disciplina exigia mais horas de estudo?
 b) Essa disciplina foi citada por qual porcentagem de entrevistados?
 c) Qual disciplina exigia menos horas de estudo? Ela foi citada por qual porcentagem de alunos? 
<P>
 d) Considerando as disciplinas Lngua Portuguesa, Matemtica e Cincias, juntas, que porcentagem dos entrevistados citou essas disciplinas?  

 98. Nesta atividade utilize as informaes dadas na atividade 97. 
 a) Faa um arredondamento, para as unidades, dos valores indicados para cada disciplina. 
 b) O crculo a seguir _`[no adaptado_`] representa 100% dos alunos entrevistados e foi dividido em seis partes, cada parte representando uma das disciplinas citadas na pesquisa. Identifique cada uma delas pela cor. 
 c) Quantos graus mede o ngulo central que corresponde a 18%? E a 24%? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->
<P>
 Leitura + (mais)

 To rpido que 1 segundo  tempo 
  demais!

  As pesquisas em vrios campos avanaram tanto, os intervalos de tempo se tornaram to pequenos, mas to pequenos, que unidades, como o segundo, ficaram inadequadas para medi-los. Os cientistas criaram ento o femtossegundo. 
  1 quatrilho de vezes 1 femtossegundo  igual a 1 segundo. 
  1015.1 femtossegundo =1 segundo. 
  1 femtossegundo =10-15 segundo. 
  O mais breve disparo de raio *laser* que se consegue produzir em laboratrio dura 10 femtossegundos. 

<142>
<P>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 1. Qual o sinal do divisor quando o dividendo e o quociente tm sinais negativos?  

 2. Calcule: 
 a) `(-990)`(+11)  
 b) `(-10.000)`(-500) 
 c) `(+480)`(-36)   
 d) `(-1.200)`(+800) 

 3. Se x=-9`(-3)3-24`(-18+
  +14)2, qual  o valor de x3`(-#,cf`)?  
 4. Um ngulo :?{a{oB* mede 75 47 e :,?{o{p*  a bissetriz de :?{a{o{b*. Qual  a medida de :?{a{o{p*?  
 5. Na figura, med :?{m{o{p*=146 38 e med :?{a{o{p*=63 49. Qual  a medida de :?{m{o{a*?  

<F->

    e            i
   Ag          i
      e        i
       e      gM
        e    i
         e  i
:::=::::::oO
  P
<F+>

 6. Edu dividiu `(-#,?bf`) por um nmero racional e obteve o quociente `(-#;ac`). Por qual nmero ele dividiu `(-#,?bf`)?  

 7. Calcule o valor destas expresses: 
 a) `(+#*hb`).`(-#=ab-#*h`) 
 b) `(+#,:i-#?f`).`(+#c`) 
 c) `(-0,03+#"be`).`(-#bi`) 

 8. No produto `(#;c`)2.`(#*d`)2, as bases so diferentes, mas os expoentes so iguais. Observe como escrevemos: 
<P>
 `(#;c`)2.`(#*d`)2=`(#;c`).`(#;c`).
  .`(#*d`).`(#*d`)=`(#;c.#*d`).`(#;c.
  .#*d`)=`(#;c.#*d`)2. Qual  o valor de `(#;c`)2.`(#*d`)2?

 9. Calcule: 
 a) `(-#:d`)3.`(+#"i`)3
 b) `(-#,b`)4.`(-6`)4

 10. Mrio obteve estas notas em cinco provas de Matemtica: 6,5; 7,0; 5,0; 8,5 e 6,0. Calcule a mdia aritmtica dessas notas.  
 11. Os salrios dos seis funcionrios de um escritrio so: R$383,00; R$540,00; R$625,00; R$900,00; R$950,00 e R$1.000,00. Qual  o salrio mdio desses funcionrios?  
 12. A quarta parte de um ngulo mede 29 36 47. Qual a medida desse ngulo?  
<P>
 13. Esta figura mostra dois recipientes com suas capacidades. Quantos copos cheios de suco enchem uma jarra?  

_`[{figuras adaptadas_`]
 Uma jarra com 2#;c L e um copo com 300 mL de capacidade.

 14. Lucas fez uma viagem de nibus que teve duas paradas. O primeiro trecho foi percorrido  velocidade mdia de 110 quilmetros por hora. O segundo trecho,  velocidade mdia de 98 quilmetros por hora e o ltimo, a 95 quilmetros por hora. Qual foi a velocidade mdia desenvolvida pelo nibus durante toda essa viagem?  
 15. Esta tabela mostra quantos quilmetros um atleta correu, por dia, durante uma semana de treinamento. Qual foi a mdia desse atleta em quilmetros?
<P> 
<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Dia da semana
2 coluna: Percurso km

!:::::::::::::
l 1  _ 2   _
r::::::w:::::::w
l 1  _ 16   _
l 2  _ 18   _
l 3  _ 15,6 _
l 4  _ 17   _
l 5  _ 19   _
l 6  _ 14,4 _
l 7  _ 20   _
h::::::j:::::::j
<F+>

 16. Pesquisas cientficas indicam que o Sistema Solar tem, atualmente, cerca de treze bilhes e setecentos milhes de anos. Esse nmero corresponde a:  
 a) 137.#aj9 
 b) 137.#aj6 
 c) 13,7.109 
 d) 13,7.106 

 17. O dcimo termo da sequncia: -1; 2; -4; 8; -16; ... : 
 a) -512 
 b) -1.024 
 c) 512 
 d) 1.024 

<143>
 18. Em um exame biomtrico, o professor de Educao Fsica mediu a altura dos alunos da classe de Alice. Esses valores, em metros, com o correspondente nmero de cada aluno figuram nesta tabela: 

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: N.o de alunos
2 coluna: Altura em m

_`[{incio da tabela_`]
1 -- 2
1 -- 1,62  
2 -- 1,75  
3 -- 1,64  
4 -- 1,60  
5 -- 1,59  
6 -- 1,68  
7 -- 1,48  
8 -- 1,45  
9 -- 1,52  
10 -- 1,68  
11 -- 1,57  
12 -- 1,77  
13 -- 1,71  
14 -- 1,65  
15 -- 1,55  
16 -- 1,61  
17 -- 1,64  
18 -- 1,58  
19 -- 1,58  
20 -- 1,61  
21 -- 1,69  
22 -- 1,74  
23 -- 1,65  
24 -- 1,53  
25 -- 1,62  
26 -- 1,43  
''' -- '''    
''' -- '''    
_`[{fim da tabela_`]
<F+>
<P>
 Utilize uma calculadora e responda: 
 a) Alice tem 1,62 m. Quantos alunos so mais altos que ela? E mais baixos?  
 b) Qual  a altura mdia da classe? A altura de Alice est acima ou abaixo da mdia? 

 19. Nesta figura :,?{o{x*  a bissetriz de :?{b{o{c* e :?{x{o{c* mede 58 49 57. A medida de :?{a{o{b* :  

<F->
    e            i
     gB      Xg
      e        i
       e      i
        e    i
         e  i
:::=::::::o::::::::::::=::
   A      O           C
<F+>

 a) 121 10 3  
 b) 62 20 6  
 c) 117 39 54
 d) 121 10 30

 20. A expresso 43.000"10-8 corresponde a:  
 a) 0,0043  
 b) 0,043 
 c) 0,00043
 d) 0,43 

 21. Dentre estas expresses a correta :  
 a) `(-3)3.23=`(-1)3  
 b) `(-3)3.23=`(+6)3 
 c) `(-3)3.23=13
 d) `(-3)3.23=`(-6)3 

 22. (Saresp) Em 5 partidas de voleibol, Duda fez 12, 15, 11, 18 e 14 pontos. Qual foi a sua mdia de pontos nessas partidas? 
 a) 11 
 b) 12 
 c) 13 
 d) 14 

 23. (Saresp) A me de Paula, suspeitando de que sua filha estivesse doente, resolveu tomar a 
<P>
  sua temperatura. Veja quanto marcou o termmetro. 
 
_`[{figura adaptada_`]
  Um termmetro marcando at trs tracinhos depois de 38,5.

<F->
37      38      39
r====r====r====r===:r::::>
     37,5    38,5
<F+>

 A temperatura de Paula :  
 a) 38,2C 
 b) 38,3C 
 c) 38,7C 
 d) 38,8C 

 24. (Saresp) Observe atentamente estas retas ordenadas: 

<F->
 -3 x   -1 0  1  2  z
:r:::r:::r:::r:::r:::r:::r:::>
 l   l   l   l   l   l   l                                  
:r:::r:::r:::r:::r:::r:::r:::>
 -4 -3 -2 -1 0  y   2
<F+>
<P> 
 A ordenao correta entre os nmeros representados pelas letras *x*, *y* e *z* :  
 a) xyz 
 b) xzy 
 c) yxz 
 d) yzx 

 25. (Saresp) Leia esta notcia: 

 "Uma onda de frio j causou 46 mortes nos ltimos dias nos pases da Europa Central. No centro da Romnia, a temperatura chegou a -32C na noite passada. No noroeste da Bulgria, a temperatura era de -22C e as ruas ficaram cobertas por uma camada de 10 cm de gelo. Foram registradas as marcas -30C na Repblica 
  Tcheca e de -23C na Eslovquia." 
<P>
 Segundo a notcia, o pas em que a temperatura estava mais alta era:  
 a) Romnia. 
 b) Bulgria.  
 c) Repblica Tcheca. 
 d) Eslovquia.

 26. (Saresp) Cristina tirou nota 8 na primeira prova de Matemtica, nota 6 na segunda prova e, da terceira, ela ainda no recebeu a nota. Antes de entregar a nota da terceira prova, a professora de Cristina lanou o seguinte desafio para ela: "A mdia aritmtica das suas trs notas foi 7, descubra a nota que voc tirou na terceira prova." Resolva o desafio proposto pela professora de Cristina e descubra a nota que ela tirou na terceira prova.  
 a) 6 
 b) 7 
 c) 8 
 d) 9 
<P>
 27. (Saresp) Foi realizada uma pesquisa entre todas as crianas de 8 anos de um certo estado para saber se estavam alfabetizadas. Para tal, foi aplicada uma prova cujo valor variava de 0 a 10, sendo considerada alfabetizada a criana com nota superior a 5,0. A mdia obtida nesta prova foi 5,4. Dentre as opes a seguir, a nica que se pode concluir pela mdia  que:  
 a) todas as crianas esto alfabetizadas. 
 b) nenhuma criana est alfabetizada. 
 c) alguma criana tirou 5,4. 
 d) h crianas alfabetizadas. 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quarta Parte